Lũy thừa có hai phép toán nghịch đảo: căn và logarit . Tương tự, nghịch đảo của tetration thường được gọi là siêu căn, và siêu logarit (Trong thực tế, tất cả các hyper có bậc lớn hơn hoặc bằng 3 đều có phép nghịch đảo tương tự). Ví dụ, trong hàm 3 y = x {\displaystyle {^{3}}y=x} , hai nghịch đảo là siêu căn bậc 3 của y và siêu logarit cơ số y của x.

Siêu căn

Các siêu căn là phép toán nghịch đảo của tetration đối với cơ số: nếu n y = x {\displaystyle ^{n}y=x} , thì y là siêu căn bậc n của x ( x n s {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}} hoặc x n 4 {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{4}} ).

Ví dụ,

4 2 = 2 2 2 2 = 65,536 {\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65{,}536}

vì vậy 2 là siêu căn bậc 4 của 65,536.

Siêu căn bậc 2

Đồ thị y = x s {\displaystyle y={\sqrt {x}}_{s}} .

Siêu căn bậc 2 có hai ký hiệu tương đương, s s r t ( x ) {\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)} và x s {\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}} . Nó là nghịch đảo của 2 x = x x {\displaystyle ^{2}x=x^{x}} và có thể được biểu diễn bằng hàm W Lambert:[18]

s s r t ( x ) = e W ( ln ⁡ x ) = ln ⁡ x W ( ln ⁡ x ) {\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=e^{W(\ln x)}={\frac {\ln x}{W(\ln x)}}}

Hàm này cũng minh họa bản chất phản xạ của hàm căn và hàm logarit vì phương trình dưới đây chỉ đúng khi y = s s r t ( x ) {\displaystyle y=\mathrm {ssrt} (x)} :

x y = log y ⁡ x {\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}

Giống như căn bậc hai, siêu căn bậc hai của x có thể không có một giải pháp duy nhất. Không giống như căn bậc hai, việc xác định số lượng siêu căn bậc hai của x có thể khó khăn. Nói chung, nếu e − 1 / e < x < 1 {\displaystyle e^{-1/e}<x<1} , thì x có hai siêu căn bậc hai dương giữa 0 và 1, thì x có một siêu căn bậc 2 dương lớn hơn 1. Nếu x là số dương và nhỏ hơn e − 1 / e {\displaystyle e^{-1/e}} thì nó không có bất kỳ siêu căn bậc 2 thực nào, nhưng công thức đã cho ở trên mang lại vô cùng nhiều công thức phức cho bất kỳ x hữu hạn nào không bằng 1.[18] Hàm đã được sử dụng để xác định kích thước của cụm dữ liệu.[19]

Tại x = 1 {\displaystyle x=1} :

s s q r t ( x ) = 1 + ( x − 1 ) − ( x − 1 ) 2 + 3 2 ( x − 1 ) 3 − 17 6 ( x − 1 ) 4 + 37 6 ( x − 1 ) 5 − 1759 120 ( x − 1 ) 6 + 13279 360 ( x − 1 ) 7 + O ( ( x − 1 ) 8 ) {\displaystyle \mathrm {ssqrt} (x)=1+(x-1)-(x-1)^{2}+{\frac {3}{2}}(x-1)^{3}-{\frac {17}{6}}(x-1)^{4}+{\frac {37}{6}}(x-1)^{5}-{\frac {1759}{120}}(x-1)^{6}+{\frac {13279}{360}}(x-1)^{7}+\mathrm {O} \left((x-1)^{8}\right)}

Các siêu căn khác

Đồ thị y = x 3 s {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}_{s}} .

Đối với mỗi số nguyên n > 2, hàm nx được xác định và tăng cho x ≥ 1, và n1 = 1, sao cho siêu căn bậc n của x, x n s {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}} , tồn tại cho x ≥ 1.

Tuy nhiên, nếu sử dụng xấp xỉ tuyến tính ở trên, thì y x = y + 1 {\displaystyle ^{y}x=y+1} nếu −1 < y ≤ 0, vì vậy y y + 1 s {\displaystyle ^{y}{\sqrt {y+1}}_{s}} không thể tồn tại.

Cũng giống như siêu căn bậc hai, thuật ngữ cho các siêu căn khác có thể dựa trên các căn thông thường:"siêu căn bậc 3" có thể được thể hiện như x 3 s {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}} , "siêu căn bậc 4" có thể được thể hiện như x 4 s {\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}} , và "siêu căn bậc n là x n s {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}} . Lưu ý rằng x n s {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}} có thể không được xác định duy nhất, bởi vì có thể có nhiều hơn căn thứ n. Ví dụ, x có một siêu căn đơn (số thực) nếu n lẻ và lên đến hai nếu n chẵn.

Cũng giống như việc mở rộng tetration lên tham số chiều cao vô hạn, siêu căn có thể được mở rộng đến n = ∞, được xác định rõ nếu 1/e ≤ x ≤ e. Lưu ý rằng x = ∞ y = y [ ∞ y ] = y x , {\displaystyle x={^{\infty }y}=y^{\left[^{\infty }y\right]}=y^{x},} và do đó y = x 1 / x {\displaystyle y=x^{1/x}} . Do đó, khi nó được xác định rõ, x ∞ s = x 1 / x {\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{x}}_{s}=x^{1/x}} và, không giống như tetration thường, là một hàm số sơ cấp. Ví dụ, 2 ∞ s = 2 1 / 2 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{2}}_{s}=2^{1/2}={\sqrt {2}}} .

Nó xuất phát từ Định lý Schelfider Schneider siêu căn n s {\displaystyle {\sqrt {n}}_{s}} cho bất kỳ số nguyên dương n là số nguyên hoặc số siêu việt, và n 3 s {\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}_{s}} là số nguyên hoặc không hợp lý. Vẫn còn là một câu hỏi mở cho dù các siêu căn phi lý có siêu việt trong trường hợp sau hay không.

Siêu logarit (siêu logarit)

Khi định nghĩa tăng liên tục (tính bằng x) của tetration, xa, đã được chọn, siêu logarit tương ứng slog a ⁡ x {\displaystyle \operatorname {slog} _{a}x} hoặc log a 4 ⁡ x {\displaystyle \log _{a}^{4}x} được định nghĩa cho tất cả các số thực x, và a > 1.

Hàm sloga x thỏa mãn:

slog a ⁡ x a = x slog a ⁡ a x = 1 + slog a ⁡ x slog a ⁡ x = 1 + slog a ⁡ log a ⁡ x slog a ⁡ x > − 2 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\operatorname {slog} _{a}{^{x}a}&=&x\\\operatorname {slog} _{a}a^{x}&=&1+\operatorname {slog} _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&=&1+\operatorname {slog} _{a}\log _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&>&-2\end{array}}}